当贝叶斯风险满足如下条件:定理表明:如果决策函数使得贝叶斯风险最小此决策函数也使得后验风险最小反之也成立证明从略定理设

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文章关键词:必赢电竞app,先验分布

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  第节贝叶斯估计一、先验分布和后验分布二、共轭先验分布三、贝叶斯风险四、贝叶斯估计一、先验分布与后验分布上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏但是由于风险函数为二元函数很难进行全面比较。贝叶斯通过引入先验分布给出了整体比较的指标、先验信息在抽取样本之前人们对所要估计的未知参数所了解的信息通常称为先验信息例(p例)某学生通过物理试验来确定当地的重力加速度测得的数据为(ms²):,,,,试求当地的重力加速度解用样本均值估计其重力加速度应该是合理的即由经验可知此结果是不符合事实的。在估计之前我们知道重力加速度应该在附近即这个信息就是重力加速度的先验信息在统计学中先验信息可以更好的帮助人们解决统计决策问题贝叶斯将此思想应用于统计决策中形成了完整的贝叶斯统计方法、先验分布对未知参数的先验信息用一个分布形式()来表示此分布()称为未知参数的先验分布例如例中重力加速度的先验分布为、后验分布在抽取样本之前人们对未知参数有个了解即先验分布。抽取样本之后由于样本中包含未知参数的信息而这些关于未知参数新的信息可以帮助人们修正抽样之前的先验信息。而样本值是在知道的先验分布的前提下得到的因而上述分布可以改写为由此可以得到例(p例)为了提高某产品的质量公司经理考虑增加投资来改进生产设备预计需投资万元但从投资效果来看顾问们提出两种不同的意见:经理根据以往的经验两个顾问建议可信度分别为这两个概率是经理的主观判断(也就是先验概率)为了得到更准确的信息经理决定进行小规模的试验实验结果如下:A:试制个产品全是正品由此可以得到条件分布:由全概率公式可以得到:其后验概率为:显然经理对二位顾问的看法已经做了修改为了得到更准确的信息经理又做了一次试验结果为B:试制个产品个是正品由此可见后验分布更能准确描述事情真相二、共轭先验分布为了使得后验分布计算简单为此引入共轭先验分布定义注共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的、共轭分布族、后验分布核由上一小节内容可知后验分布为可以看出m(x)不依赖于参数,因而参数的后验分布可以写为如下等价形式:、共轭先验分布族的构造方法共轭先验分布族共有两种构造方法第一种方法首先计算似然函数q(x),根据似然函数所含的因式情况选取与似然函数具有相同核的分布作为先验分布例(p例)哪一个分布具有上述核?结论是倒分布这是因为分布的密度函数为此分布密度为倒分布的密度函数,设²的先验分布为倒分布即则²的后验分布为显然此分布仍为倒分布即先验分布与后验分布都为倒分布因而倒分布是²的共轭先验分布族例(p例)哪一个分布具有上述核?结论是分布这是因为分布的密度函数为设的先验分布为分布即则的后验分布为显然此分布是分布的核因而分布是的共轭先验分布族经计算可知第二种方法设总体X的分布密度为p(x),统计量定理则是共轭先验分布族其中例(p例)解其似然函数为显然此共轭分布族为分布的子族因而两点分布的共轭先验分布族为分布常见共轭先验分布三、贝叶斯风险由第一小节内容可知给定损失函数以后风险函数定义为此积分仍为的函数在给定的先验分布()时定义为决策函数d在给定先验分布()下的贝叶斯风险简称为d的贝叶斯风险、贝叶斯风险的定义、贝叶斯风险的计算当X与都是连续性随机变量时贝叶斯风险为当X与都是离散型随机变量时贝叶斯风险为注由上述计算可以看出贝叶斯风险为计算两次期望值得到,即此风险大小只与决策函数d有关而不再依赖参数因此以此来衡量决策函数优良性更合理四、贝叶斯估计、贝叶斯点估计定义若总体X的分布函数F(x,)中参数为随机变量()为的先验分布若决策函数类D中存在一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数均有注、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策函数、不同的先验分布对应不同的贝叶斯估计、贝叶斯点估计的计算平方损失下的贝叶斯估计定理设的先验分布为()和损失函数为则的贝叶斯估计为证首先对贝叶斯风险做变换又因为又因为则因而定理设的先验分布为()和损失函数为加权平方损失则的贝叶斯估计为证明略此证明定理的证明类似定理设参数为随机向量先验分布为()和损失函数为二次损失函数注其中Q为正定矩阵则的贝叶斯估计为后验分布h(x)的均值向量即定理表明正定二次损失下的贝叶斯估计不受正定矩阵Q的选取干扰表现出其稳健性证在二次损失下任一个决策函数向量d(x)=其中第二项为常数而第一项非负因而只需当定义设d=d(x)为决策函数类D中任一决策函数损失函数为L(,d(x)),则L(,d(x)),对后验分布h(x)的数学期望称为后验风险记为注如果存在一个决策函数使得则称此决策为后验风险准则下的最优决策函数或称为贝叶斯(后验型)决策函数。定理对给定的统计决策问题(包含先验分布给定的情形)和决策函数类D,当贝叶斯风险满足如下条件:定理表明:如果决策函数使得贝叶斯风险最小此决策函数也使得后验风险最小反之也成立证明从略定理设的先验分布为()和损失函数为证则的贝叶斯估计为设m为h(x)的中位数又设d=d(x)为的另一估计为确定期间先设dm,由绝对损失函数的定义可得又由于则由于m是中位数因而则有于是当dm时同理可证当dm时因而定理设的先验分布为()和损失函数为则的贝叶斯估计为证首先计算任一决策函数d(x)的后验风险为了得到R(dx)的极小值关于等式两边求导:即则例(p例)设总体X服从两点分布B(,p),其中参数p未知而p在,上服从均匀分布样本试求参数p的贝叶斯估计与贝叶斯风险解平方损失下的贝叶斯估计为:而其贝叶斯风险为又因为则所以例(p例)设总体X服从正态分布N(,),其中参数未知而服从标准正态布在N(,)样本试求参数的贝叶斯估计解平方损失下的贝叶斯估计为:而化简得例(p例)设总体X服从均匀分布U(,),其中参数未知而服从pareto分布其分布函数与密度函数分别为试求参数的贝叶斯估计解根据定理可知绝对值损失对应的贝叶斯估计为后验分布的中位数,即则根据定理可知平方损失对应的贝叶斯估计为后验分布的均值,即例(p例)设总体X服从伽玛分布(r,),试求参数的贝叶斯估计解、贝叶斯估计的误差在计算的估计时用到了的后验分布因此考察估计值与真实值之间的误差时也应考虑的后验分布误差定义如下:定义参数的后验分布为h(x),其贝叶斯估计后验均方差与后验方差的关系后验均方差与后验方差的优点、二者只依赖与样本不依赖参数、二者的计算不依赖与统计量的分布即抽样分布、贝叶斯估计不考虑无偏性因为贝叶斯估计只考虑出现的样本不考虑没出现的样本、贝叶斯区间估计定义定义定义设参数的后验分布为h(x)对给定的注贝叶斯置信区间依赖于先验分布不需要抽样分布计算相对简单正态分布均值的贝叶斯置信区间例(p例)解首先计算参数的后验分布由此可见于是可得置信区间为例(p例)对某儿童进行智力测验设测验结果服从N(,),其中为心理学中儿童的智商的先验分布为N(,),试求的置信为的贝叶斯置信区间解将相关数据代入上述置信区间公式可得:的置信度为的置信区间为,而用表(不用先验分布)可得的置信度为的置信区间为,再见

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